Чем больше учишься, тем больше знаешь.
Чем больше знаешь, тем больше забываешь.
Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.
Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.
Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.
Так для чего учиться?
Софизм (образовано от греческого слова: σόφισμα — уловка,
ухищрение, выдумка).
Иногда софизм может обосновывать какую-либо заведомую
нелепость (абсурд) или утверждение, противоречащее общепринятым представлениям
(парадокс). В отличие от парадоксов, в софизмах не проявляются действительные
логические трудности – это результат заведомо некорректного применения
семантических и логических правил и операций. Софизмы используют многозначность
слов естественного языка , полисемию, омонимию, синонимию и другие; нередко они
основываются на таких логических ошибках , как подмена понятий, тезиса
доказательства, несоблюдение правил логического вывода, принятие ложных посылок
за истинные и других.
В обыденном мышлении софизм понимается как сознательное
применение в споре, утверждениях или доказательствах неправильных доводов, то
есть разного рода интеллектуальных уловок и словесных ухищрений,
замаскированных внешней, формальной правильностью. Употребление софизмов с
целью введения в заблуждение является некорректным приёмом аргументации и
вполне обоснованно подвергается критике.
В то же время софизмы могут рассматриваться в некоторых
ситуациях как неизбежная на определенном этапе развития мышления неявная форма
постановки проблем (так, многие известные софизмы на деле оказались логическими
парадоксами).
Математический софизм – удивительное утверждение, в
доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.
История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых
порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают
внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью
формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций.
Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом,
помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в
софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее
повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят
пользы, если их не понимать.
Философы обвиняли методы софистов в субъективизме и
релятивизме, что повлекло отрицательную оценку деятельности софистов как
софистической.
Платон («Евтидем», «Протагор», «Теэтет») развенчивал софизмы
и методы их решения как «мнимое знание», «призрачные подобия знания, но не
истинные» («Софист»). Аристотель считал софизмы «натаскиванием», а не научным
поиском истины, и составил в «О софистических опровержениях» первую классификацию
софизмов – уловок софистов, выделив 13
видов софизмов, возникающих из-за двусмысленностей двоякого рода: 6 связанных с
оборотами речи, и 7 паралогизмов, или неправильно построенных рассуждений.
Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность
заключения кажется верной и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному
недостаточностью логического или семантического анализа.
Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их
«логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической:
за счет метафоричности речи, омонимии или полисемии слов, амфиболий и пр.,
нарушающих однозначность мысли и приводящих к смешению значений терминов, или
же логической: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных
посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил
логического вывода), использование «неразрешенных» или даже «запрещенных»
правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах
(Последнюю ошибку можно считать и семиотической, так как она связана с
соглашением о «правильно построенных формулах»).
Вот один из древних софизмов («рогатый»), приписываемый Эвбулиду:
«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».
Здесь маскируется двусмысленность большей посылки. Если она
мыслится универсальной: «Все, что ты не терял…», то вывод логически безупречен,
но неинтересен, поскольку очевидно, что большая посылка ложна; если же она
мыслится частной, то заключение не следует логически. Последнее, однако, стало
известно лишь после того, как Аристотель сформулировал логику.
Исторически с понятием «софизм» неизменно связывают идею о
намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора о том, что задача
софиста — представить наихудший аргумент как наилучший путем хитроумных уловок
в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о
практической выгоде. (Известно, что сам Протагор оказался жертвой «софизма
Эватла»). С этой же идеей обычно связывают и «критерий основания»,
сформулированный Протагором: мнение человека есть мера истины.
Уже Платон заметил, что основание не должно заключаться в
субъективной воле человека, иначе придется признать законность противоречий
(что, между прочим, и утверждали софисты), а поэтому любые суждения считать
обоснованными. Эта мысль Платона была развита в аристотелевском «принципе
непротиворечия» и, уже в современной логике, — в истолкованиях и требовании
доказательств «абсолютной» непротиворечивости. Перенесенная из области чистой
логики в область «фактических истин», она породила особый «стиль мышления»,
игнорирующий диалектику «интервальных ситуаций», то есть таких ситуаций, в
которых критерий Протагора, понятый, однако, более широко, как относительность
истины к условиям и средствам ее познания, оказывается весьма существенным.
Именно поэтому многие рассуждения, приводящие к парадоксам и в остальном
безупречные, квалифицируются как софизмы, хотя по существу они только
демонстрируют интервальный характер связанных с ними гносеологических ситуаций.
Различают следующие виды софизмов:
а) софизм «учетверение термина» - силлогическое умозаключение, в котором нарушено правило простого категорического силлогизма: в каждом силлогизме должно быть только три термина. Умышленно ошибочное рассуждение строится с использованием нетождественных, но внешне сходных понятий: например, «Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего»;
б) софизм недозволенного процесса - силлогистическое умозаключение, в котором нарушено правило простого категорического силлогизма: термин, не распределенный (не взятый во всем объеме) в одной из посылок, не может быть распределен (взят во всем объеме) в заключении: все птицы имеют крылья; некоторые яйцекладущие имеют крылья;
в) софизм собирательного среднего термина - силлогистическое умозаключение, в котором нарушено правило простого категорического силлогизма: средний термин должен быть распределен (взят во всем объеме) по крайней мере в одной из посылок: некоторые люди умеют играть на скрипке; все дипломаты - люди; все дипломаты умеют играть на скрипке.
Как итог :
По сути, это «ложное обобщение». Человек приводит несколько
примеров того, что такие-то лица или такие предметы обладают известным
признаком и т.д., и без дальнейших рассуждений делает вывод, что все подобные
лица и предметы обладают этим признаком.
Дело в том, что в каждом доказательстве или в разных
доводах, или в доводе и тезисе, всегда повторяется какое-нибудь одно и то же
понятие самое меньшее – два раза. Без этого не было бы логической связи.
Например, дано доказательство: «все люди смертны, святые – люди, значит, святые
смертны». Здесь в обоих доводах встречается одно и то же понятие: люди. В
первом доводе и в тезисе одно и то же понятие: смертны. Во втором доводе и
тезисе – одно и то же понятие: святые. На этом тождестве понятий основывается
вся логическая связь в данном доказательстве. Попробуйте заменить в одном из
доводов понятие «люди» другим понятием, например, «духи» или в тезисе поставить
вместо понятия «святые» другое понятие,
например «епископы». Логической связи не будет.
Также стоит упомянуть «софизмы непоследовательности» или
неправильного рассуждения, т.е. такие, в которых тезис «не вытекает» из
доводов, встречаются тоже очень часто. В таких случаях иногда говорят: «отсюда
(т.е. из довода) ничего еще не следует»; или «ваш довод ничего не доказывает» и
т.п.
Из других софизмов непоследовательности надо упомянуть ,
прежде всего очень распространенный и часто довольно курьезный софизм, который
можно, пожалуй, назвать «дамским аргументом». Он в ходу и у мужчин, да еще как;
но в женских устах он, в общем, получает почему-то особый блеск и рельефность.
Суть его вот в чем. По многим вопросам возможно, мыслимо не
одно, не два, а несколько, много решений, несколько предположений и т.д.
Некоторые из них противоположны друг другу. По здравому смыслу и по требованиям
логики надо учитывать все их. Но софист поступает наоборот. Желая, например,
защитить свое мнение, он выбирает самое крайнее и самое нелепое противоположное
из других мыслимых решений вопроса и противопоставляет своему мнению. Вместе с
тем он предлагает нам сделать выбор: или признать эту нелепость, или принять
его мысль. Чем ярче контраст между нелепостью и защищаемым им мнением, тем
лучше. Все остальные возможные решения намеренно замалчиваются.
Вот пример из жизни:
А. Что ты так сухо обошлась с ним. Он, бедный, чувствовал
себя у нас очень неловко.
Б. А как же мне с ним прикажешь обращаться? Поместить в угол
вместо образов и молиться?
Есть тысячи способов обращаться с людьми помимо этих двух.
Но Б. выбрала для контраста самый нелепый из мыслимых нелепых способов.
Не менее часто встречается другой родственный софизм:
«навязанное следствие». Чаще всего он имеет внешнюю форму так называемого
приведения к нелепости.
Известно, что один из приемов опровержения неправильной
мысли состоит в том, что мы рассматриваем ее следствия. Если следствия, которые
из нее необходимо вытекают, ложны или
прямо нелепы, значит, ошибочна и сама мысль, из которой они следуют. Софист же,
искажая этот прием, нередко старается навязать мысли нелепое следствие, которое
вовсе из нее не вытекает. Вот самый простой пример :
Б. Ах, как я устала!
В. Но ведь сегодня же вам не пришлось много работать.
Занавеси приделала Х. За покупками ходила Ф.
Б. А! Так ты называешь меня дармоедкой! Значит, я,
по-твоему, дармоедка! и т.д., и т.д.
Наконец, из числа других софизмов рассуждения можно упомянуть здесь еще «многовопросие», очень распространенный софизм в древности, благодаря особой тогдашней форме спора. Но он нередко встречается и теперь. В настоящее время он чаще всего имеет вид неправильного осведомления. По какому-нибудь вопросу возможно только условное решение: в одних случаях надо решать так, в других иначе. Софист же требует, чтобы противник «просто» ответил – «да или нет». Если противник хочет сделать должное «различие», его обвиняют в том, что он «не хочет отвечать прямо и прибегает к уверткам». Вот пример :
– честно или нечестно защищать другой народ (в споре) в
ущерб своему? Отвечай без уверток, прямо: да или нет?
– Но постой! Я же не могу двумя словами ответить на такой
вопрос, потому что...
– А! Не можешь прямо ответить! Когда ты прижат к стене, ты
всегда пускаешься на уловки.
– Да нет же! Сам вопрос такого рода, что на него невозможно
ответить только «да или нет». Это вопрос сложный и на него надо...
– Слыхали мы эти ваши громкие фразы, знаем ваши уловки...
Мне не надо никаких хитросплетений... Ты мне отвечай прямо: честно или
нечестно? и т.д.
*
По-видимому, первыми, кто понял важность семиотического
анализа софизмов, были сами софисты. Учение о речи, о правильном употреблении
имен Продик считал важнейшим. Анализ и примеры софизмов часто встречаются в
диалогах Платона. Аристотель написал специальную книгу «О софистических
опровержениях», а математик Евклид — «Псевдарий» — своеобразный каталог
софизмов в геометрических доказательствах. Сочинение «Софизмы» (в двух книгах)
написал ученик Аристотеля Феофраст (D.L. V. 45). В средние века в Западной
Европе составлялись целые коллекции софизмов. Например, собрание, приписываемое
английскому философу и логику XIII века Ричарду Софисту, насчитывает свыше
трехсот софизмов. Некоторые из них напоминают высказывания представителей
древнекитайской школы имен (мин цзя).
При часто отрицательном отношении к софизмам, они имели обратную и гораздо более
интересную сторону. Так, именно софизмы стали причиной возникновения первых
зачатков логики. Очень часто они ставят в неявной форме проблему
доказательства. Именно с софизмов началось осмысление и изучение доказательства
и опровержения. Поэтому можно говорить о положительном действии софизмов, т. е.
о том, что они непосредственно содействовали возникновению особой науки о
правильном, доказательном мышлении.
Переходя к вопросу о парадоксах, нельзя не сказать о
соотношении их с софизмами. Дело в том, что четкой грани, по которой можно
понять, с чем приходится иметь дело, иногда нет.
Впрочем, парадоксы рассматриваются со значительно более
серьезным подходом, в то время как софизмы играют зачастую роль шутки, не
более. Это связано с природой теории и науки: если она содержит парадоксы,
значит, имеет место несовершенство основополагающих идей.
Сказанное может означать, что современный подход к софизмам
не охватывает всего объема проблемы. Многие парадоксы толкуются как софизмы,
хотя не теряют своих первоначальных свойств.
Парадоксом можно назвать рассуждение, которое доказывает не
только истинность, но и ложность некоторого суждения, т. е. доказывающее как
само суждение, так и его отрицание. Другими словами, парадокс – это два
противоположных, несовместимых утверждения, для каждого из которых имеются
кажущиеся убедительными аргументы.
Один из первых и, безусловно, образцовых парадоксов был записан Эвбулидом – греческим поэтом и философом, критянином. Парадокс носит название «Лжец». До нас этот парадокс дошел в таком виде:
«Эпименид утверждает, что все критяне – лжецы. Если он говорит правду, то он лжет. Лжет ли он или же говорит правду?».
Этот парадокс именуется «королем логических парадоксов».
Разрешить его до настоящего времени не удалось никому. Суть этого парадокса
состоит в том, что когда человек говорит: «Я лгу», он не лжет и не говорит
правду, а, точнее, делает одновременно и то и это. Другими словами, если
предположить, что человек говорит правду, выходит, что он на самом деле лжет, а
если он лжет, значит, раньше он сказал правду об этом. Здесь утверждаются оба
противоречащих факта. Само собой, по закону исключенного третьего это невозможно,
однако именно поэтому данный парадокс и получил столь высокий «титул».
В развитие теории пространства и времени большой вклад
внесли жители города Элея, элеаты. Они опирались на идею о невозможности
небытия, которая принадлежит Пармениду. Всякая мысль согласно этой идее есть
мысль о существующем. При этом отрицалось любое движение: мировое пространство
считалось целостным, мир единым, без частей.
Древнегреческий философ Зенон Элейский известен тем, что
составил серию парадоксов о бесконечности – так называемые апории Зенона.
Зенон, ученик Парменида, развивал эти идеи, за что был
назван Аристотелем «родоначальником диалектики». Под диалектикой понималось
искусство достигать истины в споре, выявляя противоречия в суждении противника
и уничтожая их.
«Ахиллес и черепаха» представляет собой апорию о движении.
Как известно, Ахиллес – это древнегреческий герой. Он обладал недюжинными
способностями в спорте. Черепаха очень медлительное животное. Однако в апории
Ахиллес проигрывает черепахе состязание в беге. Допустим, Ахиллесу нужно
пробежать расстояние, равное 1, а бежит он в два раза быстрее черепахи,
последней нужно пробежать 1/2. Движение их начинается одновременно. Получается,
что, пробежав расстояние 1/2, Ахиллес обнаружит, что черепаха успела за то же
время преодолеть отрезок 1/4. Сколько бы ни пытался Ахиллес обогнать черепаху,
она будет находиться впереди ровно на 1/2. Поэтому Ахиллесу не суждено догнать
черепаху, это движение вечно, его нельзя завершить.
Невозможность завершить эту последовательность заключается в
том, что в ней отсутствует последний элемент. Всякий раз, указав очередной член
последовательности, мы можем продолжить указанием следующего.
Парадоксальность здесь заключается в том, что бесконечная
последовательность следующих друг за другом событий на самом деле все-таки
должна завершиться, хотя бы мы и не могли себе представить этого завершения.
Другая апория носит название «дихотомия». Рассуждение
построено на тех же принципах, что и предыдущее. Для того чтобы пройти весь
путь, необходимо пройти половину пути. В этом случае половина пути становится
путем, и чтобы его пройти, необходимо отмерить половину (т. е. уже половину
половины). Так продолжается до бесконечности.
Здесь порядок следования по сравнению с предыдущей апорией
перевернут, т. е. (1/2)n..., (1/2)3, (1/2)2, (1/2)1. Ряд тут не имеет первой
точки, тогда как апория «Ахиллес и черепаха» не имела последней.
Из этой апории делается вывод, что движение не может
начаться. Исходя из рассмотренных апорий движение не может закончиться и не
может начаться. Значит, его нет.
Опровержение апории «Ахиллес и черепаха».
Как и в апории, в опровержении ее фигурирует Ахиллес, но не
одна, а две черепахи. Одна из них находится ближе другой. Движение также
начинается одновременно. Ахиллес бежит последним. За то время, как Ахилл
пробежит разделяющее их вначале расстояние, ближняя черепаха успеет уползти
несколько вперед, что будет продолжаться до бесконечности. Ахиллес будет все
ближе и ближе к черепахе, но никогда не сможет ее догнать. Несмотря на явную
ложность, логического опровержения такому утверждению нет. Однако если Ахиллес
станет догонять дальнюю черепаху, не обращая внимания на ближнюю, он, согласно
этой же апории, сумеет вплотную приблизиться к ней. А раз так, то он обгонит
ближнюю черепаху.
Это приводит к логическому противоречию.
Для опровержения опровержения, т. е. защиты апории, что само
по себе странно, предлагают откинуть груз образных представлений. И выявить
формальную суть дела. Здесь следует сказать, что сама апория основывается на
образных представлениях и откинуть их – значит опровергнуть и ее. А
опровержение достаточно формально. То, что вместо одной в опровержении взято
две черепахи, не делает его более образным, нежели апорию. Вообще же сложно
говорить о понятиях, не основанных на образных представлениях. Даже такие
высшей абстракции философские понятия, как бытие, сознание и другие, понимаются
только благодаря образам, соответствующим им. Без образа, стоящего за словом,
последнее оставалось бы лишь набором символов и звуков.
Стадий подразумевает существование неделимых отрезков в
пространстве и движение в нем объектов. Эта апория основана на предыдущих.
Берется один недвижимый ряд объектов и два двигающихся по направлению друг к
другу. При этом каждый двигающийся ряд по отношению к недвижимому проходит за
единицу времени лишь один отрезок. Однако по отношению к движущемуся – два. Что
признается противоречивым. Также говорится, что в промежуточном положении
(когда один ряд уже как бы сдвинулся, другой нет) нет места для неподвижного
ряда. Промежуточное положение происходит из того, что отрезки неделимы и
движение, хотя бы и начатое одновременно, должно пройти промежуточный этап,
когда первое значение одного движущегося ряда совпадает со вторым значением
второго (движение при условии неделимости отрезков лишено плавности). Состояние
же покоя – когда вторые значения всех рядов совпадают. Неподвижный ряд, если
предположить одновременность движения рядов, должен в промежуточном положении
находиться между движущимися рядами, а это невозможно, так как отрезки
неделимы.
Парадокс воронов (Raven paradox или парадокс Гемпеля )–
парадокс индуктивного мышления. Он был сформулирован немецким математиком
Карлом Густавом Гемпелем в 1940-х годах, для иллюстрации того, что индуктивная
логика иногда входит в противоречие с интуицией:
«Предположим, что существует теория, согласно которой все
вороны черные. Согласно формальной логике, эта теория эквивалентна теории, что
все предметы, не являющиеся черными, не являются воронами. Если человек увидит
много черных воронов, то его уверенность в том, что эта теория верна,
увеличится. Если же он увидит много красных яблок, то это увеличит его
уверенность в том, что все нечерные предметы не являются воронами, и, согласно
вышесказанному, должно также увеличить и его уверенность в том, что все вороны
черные».
Однако этот вывод противоречит интуитивному восприятию
ситуации человеком. Наблюдение красных яблок увеличит уверенность наблюдателя в
том, что все нечёрные предметы не являются воронами, но при этом не увеличит
его уверенность в том, что все вороны черные.
Принцип индукции утверждает, что: Наблюдение явления Х,
которое соответствует теории Т, увеличивает вероятность того, что теория Т
истинна. Индуктивные умозаключения широко используются в науке. Мнение об истинности
многих научных законов (таких, как, например, законы движения Ньютона или закон
всемирного тяготения) базируется на том, что множество наблюдений подтверждает
их истинность, в то время как не существует наблюдений, которые противоречили
бы этим законам (в тех условиях, где эти законы должны быть применимы согласно
теории).
В парадоксе чёрных воронов проверяемым «законом» является
утверждение «Все вороны черные». Поскольку это утверждение эквивалентно
утверждению «Все предметы, не являющиеся черными, не являются воронами», а
вероятность истинности последнего должна, в соответствии с принципом индукции,
увеличиваться при наблюдении любых нечерных предметов, не являющихся воронами,
то получается, что наблюдение красных яблок должно увеличивать вероятность
того, что все вороны черные.
«Крокодил»
«Крокодил» (крокодилит, дилемма крокодила) — логический
парадокс (софизм), основанный на самореференции. Авторство приписывается
Кораксу. По своей структуре софизм напоминает более известный парадокс лжеца и
парадокс Эватла.
Крокодил выхватил у египтянки, стоявшей на берегу реки, ее
ребенка. На ее мольбу вернуть ребенка крокодил, пролив, как всегда, крокодилову
слезу, ответил:
— Твое несчастье растрогало меня, и я дам тебе шанс получить
назад ребенка. Угадай, отдам я его тебе или нет. Если ответишь правильно, я
верну ребенка. Если не угадаешь, я его не отдам.
Подумав, мать ответила:
— Ты не отдашь мне ребенка.
— Ты его не получишь, — заключил крокодил. — Ты сказала либо
правду, либо неправду. Если то, что я не отдам ребенка, — правда, я не отдам
его, так как иначе сказанное не будет правдой. Если сказанное — неправда,
значит, ты не угадала, и я не отдам ребенка по уговору.
Однако матери это рассуждение не показалось убедительным:
— Но ведь если я сказала правду, то ты отдашь мне ребенка,
как мы и договорились. Если же я не угадала, что ты не отдашь ребенка, то ты
должен мне его отдать, иначе сказанное мною не будет неправдой.
Кто прав: мать или крокодил? К чему обязывает крокодила
данное им обещание? К тому, чтобы отдать ребенка или, напротив, чтобы не отдать
его? И к тому и к другому одновременно. Это обещание внутренне противоречиво,
и, таким образом, оно невыполнимо в силу законов логики.
Другая формулировка :
Миссионер очутился у людоедов и попал как раз к обеду. Они
разрешают ему выбрать, в каком виде его съедят. Для этого он должен произнести
какое-нибудь высказывание с условием, что, если это высказывание окажется
истинным, они его сварят, а если оно окажется ложным, его зажарят.
Что следует сказать миссионеру?
Он должен сказать: «Вы зажарите меня». Если его
действительно зажарят, окажется, что он высказал истину, и значит, его надо
сварить. Если же его сварят, его высказывание будет ложным, и его следует как
раз зажарить. Выхода у людоедов не будет: из «зажарить» вытекает «сварить», и
наоборот.
«Софизм Эватла»
Софизм Эватла (парадокс Эватла, парадокс Протагора, парадокс
«Протагор и Эватл») — софизм (логический парадокс) древнегреческого
происхождения. Этот парадокс иллюстрируется полулегендарным примером.
У древнегреческого софиста Протагора учился софистике и в
том числе судебному красноречию некий Эватл (Еватл, Эвафл; др.-греч. Εὔαθλος).
По заключенному между ними договору Эватл должен был заплатить за обучение 10
тысяч драхм только в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. В
случае проигрыша первого судебного дела он вообще не был обязан платить.
Однако, закончив обучение, Эватл не стал участвовать в
судебных тяжбах. Как следствие, он считал себя свободным от уплаты за учебу.
Это длилось довольно долго, терпение Протагора иссякло, и он сам подал на
своего ученика в суд. Таким образом, должен был состояться первый судебный
процесс Эватла.
Протагор привел следующую аргументацию: «Каким бы ни было
решение суда, Эватл должен будет заплатить. Он либо выиграет свой первый
процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит по договору, если
проиграет, заплатит по решению суда».
Эватл возражал: «Ни в том, ни в другом случае я не должен
платить. Если я выиграю, то я не должен платить по решению суда, если проиграю,
то по договору».
Протагор, по не вполне надежным сведениям, посвятил этому
случаю несохранившееся сочинение «Тяжба о плате».
Наиболее полно из античных авторов эту историю излагает Авл
Геллий. Частично ее затрагивает Диоген Лаэртский.
Анализ парадокса :
Софизм Эватла похож по своей логической структуре на
некоторые другие софизмы, в частности, на софизм «Крокодил».
Многие логики предлагали варианты разрешения этой проблемы,
например, Лейбниц (докторская диссертация «Исследование о запутанных казусах в
праве»).
Большинство объяснений основано на том, что действия судьи,
в принципе, могут быть любыми — он не давал никаких обязательств и ему нужно
лишь определить, нарушил ли Эватл контракт. Это в значительной степени зависит
от того, насколько хорошо был этот контракт составлен, в частности, указано ли
там, в какие сроки должен состояться первый судебный процесс Эватла и какое
наказание предусмотрено, если эти сроки будут нарушены, а также заверен ли этот
контракт нотариусом и т. д. Может так случиться, что Эватл действительно
нарушил контракт, и тогда следует взять с Эватла штраф, предусмотренный за
данный тип нарушения и передать предусмотренную в контракте сумму Протагору.
На любой момент тяжбы между Эватлом и Протагором Эватл еще
не имеет ни одного законченного судебного процесса, и поэтому согласно
контракту не должен платить 10 тысяч драхм Протагору. И если не нарушены
какие-либо другие пункты контракта, то судья должен просто отклонить иск
Протагора или объявить Эватла невиновным и удовлетворить его иск о затратах и
моральном ущербе (если, конечно, он его подаст, чего ему лучше не делать).
Если иск Протагора будет просто отклонен, то никто никому не
платит, так как суда не состоялось и всё остаётся по-прежнему.
Если же суд состоится и Эватл выиграет, то сразу после
вынесения решения суда ему стоит отдать 10 тысяч драхм Протагору, так как иначе
Протагор получит их по итогам следующего суда и ещё потребует с него возмещения
издержек.
Апория «Медимн зерна»
Зенон предложил еще один софизм – «Медимн зерна» (примерно
мешок зерна), послуживший прототипом для знаменитых софизмов Евбулида «Куча» и
«Лысый».
Большая масса мелких, просяных, например, зерен при падении
на землю всегда производит шум. Он складывается из шума отдельных зерен, и,
значит, каждое зерно и каждая малейшая часть зерна должны, падая, производить
шум. Однако отдельное зерно падает на землю совершенно бесшумно. Значит, и
падающий на землю медимн зерна не должен был бы производить шум, ведь он
состоит из множества зерен, каждое из которых падает бесшумно. Но все-таки
медимн зерна падает с шумом!
В прошлом веке начала складываться экспериментальная
психология. «Медимн зерна» стал истолковываться как первое неясное указание на
существование только что открытых порогов восприятия. Это истолкование многим
кажется убедительным и сегодня.
Человек слышит не все звуки, а только достигающие
определенной силы. Падение отдельного зерна производит шум, но он настолько
слаб, что лежит за пределами человеческого слуха. Падение же многих зерен дает
шум, улавливаемый человеком. «Если бы Зенон был знаком с теорией звука, – писал
тогда немецкий философ Т.Брентано, – он не измыслил бы, конечно, своего
аргумента».
При таком объяснении совершенно не замечалось одно простое, но меняющее все дело обстоятельство: софизм «Медимн зерна» строго аналогичен софизмам «Куча» и «Лысый». Но последние не имеют никакого отношения ни к теории звука, ни к психологии слуха.
Значит, для них нужны какие-то другие и притом разные
объяснения. А это уже кажется явно непоследовательным: однотипные софизмы
должны решаться одинаково. Кроме того, раз уловлен принцип построения подобных
софизмов, их можно формулировать сколько заблагорассудится. Было бы наивно,
однако, для каждого из них искать какое-то свое решение.
Ясно, что ссылки на психологию восприятия не отражают
существа того затруднения, которое обыгрывается рассматриваемыми софизмами.
Гораздо более глубоким является их анализ, данный Гегелем.
Вопросы: «Создает ли прибавление одного зерна кучу?», «Становится ли хвост
лошади голым, если вырвать из него один волос?» – кажутся наивными. Но в них
находит свое выражение попытка древних греков представить наглядно
противоречивость всякого изменения.
Постепенное, незаметное, чисто количественное изменение
какого-то объекта не может продолжаться бесконечно. В определенный момент оно
достигает своего предела, происходит резкое качественное изменение, и объект
переходит в другое качество. Например, при температуре от 0° до 100°С вода
представляет собой жидкость. Постепенное нагревание ее заканчивается тем, что
при 100°С она закипает и резко, скачком, переходит в другое качественное
состояние – превращается в пар. «Когда происходит количественное изменение, –
писал Гегель, – оно кажется сначала совершенно невинным, но за этим изменением
скрывается еще и нечто другое, и это кажущееся невинным изменение
количественного представляет собой как бы хитрость, посредством которой
улавливается качественное».
Софизмы типа «Медимн зерна», «Куча», «Лысый» являются также
наглядным примером тех трудностей, к которым ведет употребление неточных или
«размытых» понятий. Но об этом будет говорится в следующей главе.
«Куча»
Одна песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть
куча песка, то и n+1 песчинка - тоже не куча. Следовательно, никакое число
песчинок не образует кучу песка. К этому парадоксу можно сделать следующий
комментарий: метод полной математической индукции нельзя применять, как
показывает парадокс, к объемно неопределённым понятиям, каковым является понятие
«куча песка».
«Лысый»
Возьмем достаточно большое количество людей с разной
степенью облысения и расположим их в один ряд так, чтобы у каждого следующего
человека было на голове на один волос больше, чем у предыдущего. Первый человек
в этом ряду является лысым. Можно ли сказать, что следующий за ним человек не
является лысым? Очевидно, нет. О следующим за ним - тоже, и о следующем - тоже.
Следовательно, (n+1)-й человек в этом ряду является лысым. Но тогда и любой
человек в нем является лысым, даже с самой буйной шевелюрой.
Софизмы «Электра» и «Покрытый» до сих пор приводятся в
качестве характерных образцов «особой мудрости».
В одной из трагедий Еврипида есть сцена, в которой Электра и
Орест, брат и сестра, встречаются после очень долгой разлуки. Знает ли Электра
своего брата? Да, она знает Ореста. Но вот он стоит перед нею, непохожий на
того, которого она видела последний раз, и она не знает, что этот человек –
Орест. Значит, она знает то, что она не знает?
Близкой вариацией на эту же тему является «Покрытый». Я знаю персону «Х», но не знаю, что рядом со мной, чем-то накрывшись, стоит именно она. Меня спрашивают: «Знаете ли вы персону «Х»?» Мой убедительный ответ будет и верным и неверным, так как я не знаю, что за персона рядом со мной. Если бы он открылся, я мог бы сказать, что всего лишь не узнал его. Иногда этому софизму придают форму, в которой, как кажется, его пустота и беспомощность становятся особенно наглядными.
– Знаете ли вы, о чем я сейчас хочу вас спросить?
– Нет.
– Неужели вы не знаете, что лгать – нехорошо?
– Конечно, знаю.
– Но именно об этом я и собирался вас спросить, а вы
ответили, что не знаете.
Парадокс Рассела:
Одному деревенскому брадобрею приказали «брить всякого, кто
сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется». Как он должен поступить с
самим собой?
Парадокс Гегеля:
«История учит человека тому, что человек ничему не учится из
истории». А также некоторые производные из этого парадокса. Советую Вам не
слушать моих советов. Советую Вам не слушать моих советов.
«Полупустое и полуполное»
«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны
половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и
полное».
«Равен ли полный стакан пустому?»
Да. Проведем рассуждение. Пусть имеется стакан, наполненный
водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен
стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что
стакан полный равен стакану пустому.
«Чётное и нечётное»
«5 есть 2 + 3 («два и три»). Два — число четное, три —
нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на
два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа не чётные!»
«Не знаешь то, что знаешь»
«Знаешь ли ты, о чем я хочу тебя спросить?» — «Нет». —
«Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» — «Знаю». — «Об этом я и хотел тебя
спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».
«Лекарства»
«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше
делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».
«Отец — собака»
«Эта собака имеет детей, значит, она — отец. Но это твоя
собака. Значит, она твой отец. Ты ее бьешь, значит, ты бьешь своего отца и ты —
брат щенят».
«Рогатый»
«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у
тебя рога».
«Чем больше»
«Чем больше я пью водки, тем больше у меня трясутся руки.
Чем больше у меня трясутся руки, тем больше спиртного я проливаю. Чем больше я
проливаю, тем меньше я выпиваю. Значит, чтобы пить меньше, надо пить больше».
«Девушка — не человек»
«Допустим, девушка — человек. Девушка — молодая, значит
девушка — молодой человек. Молодой человек — это парень. Противоречие. Значит
девушка — не человек».
(Здесь допущена терминологическая ошибка, ведь термин «молодой
человек» неприменим к девушке только из-за этических норм и общественных
устоев.)
«Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет
поднять?»
Если не может - значит, он не всемогущий. Если может -
значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.
«Софизм Кратила»
Диалектик Гераклит, провозгласив тезис "все
течет", пояснял, что в одну и ту же реку (образ природы) нельзя войти
дважды, ибо когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь
уже другая вода. Его ученик Кратил, сделал из утверждения учителя другие
выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, ибо пока ты входишь,
она уже изменится.
«Студент – профессор»
Студент: Профессор, холод существует?
Профессор: Что за вопрос? Конечно, существует. Тебе никогда
не было
холодно?
Студент: На самом деле, сэр, холода не существует. В
соответствии с
законами физики, то, что мы считаем холодом в действительности является отсутствием тепла.
Такие софизмы нередко использовались для того, чтобы ввести
оппонента в заблуждение. Без такого оружия в руках, как логика, соперникам
софистов в споре было нечего противопоставить, хотя зачастую они и понимали
ложность софистических умозаключений. Споры в Древнем мире зачастую
заканчивались драками.
Другие примеры софизмов, сформулированных еще в древней Греции:
«Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».
«Сократ - человек; человек - не то же самое, что Сократ; значит, Сократ - это нечто иное, чем Сократ».
«Для того чтобы видеть, вовсе необязательно иметь глаза, ведь без правого глаза мы видим, без левого тоже видим; кроме правого и левого, других глаз у нас нет; поэтому ясно, что глаза не являются необходимыми для зрения».
«Тот, кто лжет, говорит о деле, о котором идет речь, или не говорит о нем; если он говорит о деле, он не лжет; если он не говорит о деле, он говорит о чем-то несуществующем, а о нем невозможно не только лгать, но даже мыслить и говорить».
«Если какой-нибудь человек говорит, что он лжет, то лжет ли он или говорит правду?» Допущение того, что он говорит правду, будет означать, что правдой является то, что он лжет (об этом он и говорит), значит, выходит, что лжет. Если же он лжет, то это как раз и есть то, что он открыто признает. Получается, что он говорит правду».
«Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания ее; вы — против наказания ее, значит, вы находите ее невинной».
«Чем больше самоубийц, тем меньше самоубийц».
Таково стандартное истолкование софизмов, подкупающее своей
простотой. За ним стоит многовековая традиция. Однако, несмотря на кажущуюся
очевидность, слишком многое оно оставляет недосказанным и неясным.
Прежде всего оно совершенно отвлекается от тех исторических
обстоятельств, в которых рождались софизмы и в которых протекала их
последующая, нередко богатая событиями жизнь. Исследование софизмов, вырванных
из среды их обитания, подобно попытке составить полное представление о
растениях, пользуясь при этом только гербариями.
Софизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий,
причем острота их обсуждения не снижается с годами. Если софизмы – всего лишь
хитрости и словесные уловки, выведенные на чистую воду еще Аристотелем, то
долгая их история и устойчивый интерес к ним непонятны.
Имеются, конечно, случаи, и, возможно, нередкие, когда
ошибки в рассуждении используются с намерением ввести кого-то в заблуждение. Но
это явно не относится к большинству древних софизмов.
А вот несколько примеров современных софизмов:
«Одна и та же вещь не может иметь какое-то свойство и не иметь его. Хозрасчет предполагает самостоятельность, заинтересованность и ответственность. Заинтересованность — это, очевидно, не ответственность, а ответственность — не самостоятельность. Получается вопреки сказанному вначале, что хозрасчет включает самостоятельность и несамостоятельность, ответственность и безответственность».
«Акционерное общество, получившее когда-то ссуду от
государства, те-перь ему уже не должно, так как оно стало иным: в его правлении
не осталось никого из тех, кто просил ссуду».
Арифметические софизмы
Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука
о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и
(рацио-нальных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические
софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность
или ошибку, не заметную с первого взгляда.
1. «Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В»
Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие,
что А>В. Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство АВ>В*В,
а отняв от обеих его частей А*А, получим неравенство АВ-А*А>В*В-А*А, которое
равносильно следующему:
А(В-А)>(В+А)(В-А). (1)
После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим,
что
А>В+А (2),
А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство
А>В, имеем 2А>2В+А, откуда
А>2В.
Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что
из неравенства 6>5 следует, что 6>10.
Где же ошибка???
Здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к
неравенству (2). Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А<0
.="" o:p="">
2. «Число, равное другому числу, одновременно и больше, и
меньше его».
Возьмем два произвольных положительных равных числа А и В и
напи-шем и напишем для них следующие очевидные неравенства:
А>-В и В>-В. (1)
Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство
А*В>В*В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В>0, придем к
выводу, что
А>В. (2)
Записав же два других столь же бесспорных неравенства
В>-А и А>-А, (3)
Аналогично предыдущему получим, что В*А>А*А, а разделив
на А>0, придем к неравенству
А>В. (4)
Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и
меньше его.
Где ошибка???
Здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства
к другому при недопустимом перемножении неравенств. Проделаем правильные
преобразования неравенств. Запишем неравенство (1) в виде А+В>0, В+В>0.
Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба
эти неравенства (А+В)(В+В)>0, или А>-В, что представляет собой просто
верное неравенство. Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде
(В+А)>0, А+А>0, получим просто верное неравенство В>-А.
Алгебраические софизмы
Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий
наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи,
а также методы алгебры отличающие ее от других отраслей математики, создавались
постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд
общественной практики, в результате поисков общих приемов для решения
однотипных арифметических задач. Приемы эти заключаются обычно в составлении и
решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в
уравнениях и числовых выражениях.
1. «Два неодинаковых натуральных числа равны между собой»
решим систему двух уравнений:
х+2у=6, (1)
у=4- х/2 (2)
Сделаем это подстановкой у из 2го уравнения в 1, получаем
х+8-х=6, отку-да 8=6
Где же ошибка???
Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная
система за-пишется в виде:
Х+2у=6,
Х+2у=8
В этой системе уравнений коэффициенты при переменных
одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система
несо-вместна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что
прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают. Перед тем, Как решать
систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система
единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.
2. «Отрицательное число больше положительного».
Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два
отношения:
а/-c и -а/c
Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно
составить пропорцию: a/-c=-a/c
Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше
последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего
последующего. В нашем случае а>-с, следо-вательно, должно быть –а>с, т.е.
отрицательное число больше положительного.
Где ошибка???
Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если
не-которые члены пропорции отрицательны.
3. «Дважды два равно пяти».
Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b,
2d-a=b. перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a*a=2db-b*b.
Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d*d.
Будем иметь: a 2-2da+d2=b2 -2bd+d2, или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда a-d=b-d и
a=b, т.е. 2*2=5
Где ошибка???
Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти
числа равны.
Геометрические софизмы
Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения,
обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное
утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.
1. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»
Пусть, а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность
между b и a обозначим через c . Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти
равенства по частям, нахо-дим: b2 - ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc.
Получим: b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда
b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.
Где ошибка???
В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на
(b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть
вдвое длиннее телеграфного столба.
Сухой остаток того, что есть «софизм» со всех ракурсов :
- мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость ;
- сложное рассуждение, иногда намеренно запутанное с целью
показать умственное превосходство или ввести в заблуждение;
- нестандартная задача, как правило, имеющая несколько
решений;
- ошибочное рассуждение, неправильный аргумент.
- прием обучения и метод исследования, введенный древнегреческими софистами; широко практиковался в средневековых университетах (sophismata), послужил прообразом современных сборников задач и упражнений.
